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Dualité et formes linéaires - énoncé

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Pour tous vecteurs $x$ et $y$ de $\mathbb{R}^n$, on note $\langle x, y \rangle$ le produit scalaire usuel. Pour tout vecteur $a$, on note $f_a$ l'application de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ telle que : $$ \forall x \in \mathbb{R}^n, \quad f_a(x) = \langle x, a \rangle $$
  • 1. Caractérisation : Montrer que $f_a$ est une application linéaire. Déterminer son rang et la dimension de son noyau lorsque $a \neq 0$.

  • 2. Algorithmique : Écrire une fonction Python estDansNoyau(a, x) qui teste si un vecteur $x$ appartient au noyau de $f_a$.

  • 3. Théorème de Représentation de Riesz : Soit $(e_1, \dots, e_n)$ une base orthonormale. Soit $g$ une application linéaire de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$. Montrer qu'il existe un unique $a \in \mathbb{R}^n$ tel que $g = f_a$, donné par $a = \sum_{k=1}^n g(e_k)e_k$.

  • 4. L'Espace Dual : On note $\mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$ l'ensemble des formes linéaires. Montrer que $\phi : a \mapsto f_a$ est un isomorphisme. En déduire la dimension de l'espace dual.

(Extrait adapté d'un oral de concours Agro-Véto)
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1. Montrer que $f_a$ est une application linéaire. Déterminer son rang et la dimension de son noyau lorsque $a\neq0$.
$\operatorname{rang}(f_a)=1$ et $\dim(\ker(f_a))=n-1$ $\operatorname{rang}(f_a)=n$ et $\dim(\ker(f_a))=0$ $\operatorname{rang}(f_a)=0$ et $\dim(\ker(f_a))=n$
2. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base orthonormale. Soit g une application linéaire de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb R$. Montrer qu'il existe un unique $a\in\mathbb R^n$ tel que $g=f_a$, donné par $a=\sum_{k=1}^n g(e_k)e_k$.
$a=\sum_{k=1}^n g(e_k)e_k$ $a=\sum_{k=1}^n e_k$ a = g(0)
3. On note $\mathcal L(\mathbb R^n,\mathbb R)$ l'ensemble des formes linéaires. Montrer que $\varphi:a\mapsto f_a$ est un isomorphisme. En déduire la dimension de l'espace dual.
$\dim(\mathcal L(\mathbb R^n,\mathbb R))=n$ $\dim(\mathcal L(\mathbb R^n,\mathbb R))=n-1$ $\dim(\mathcal L(\mathbb R^n,\mathbb R))=1$

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