Analyse Asymptotique & Développements Limités

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Contenu du cours

Taylor-Lagrange et constante d'Euler - énoncé

10 XP

Objectif : Comprendre le passage de l'approximation affine à l'approximation polynomiale de degré $m$, et évaluer l'erreur commise.

1. Le Théorème Fondamental : Énoncer la formule de Taylor-Lagrange pour une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^{m}$ sur $[a, b]$ et $(m+1)$ fois dérivable sur $]a, b[$. Que devient cette formule dans le cas particulier où $m=0$ ?

2. Application Asymptotique : En appliquant ce théorème à la fonction $f(x) = e^x$ sur l'intervalle $[0, 1]$, démontrer que pour tout entier $m$, il existe un réel $c \in ]0, 1[$ tel que : $$ e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{m!} + \frac{e^c}{(m+1)!} $$

3. Convergence : En déduire la limite de la série $\sum_{k=0}^m \frac{1}{k!}$ lorsque $m \rightarrow +\infty$.

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1. Énoncer la formule de Taylor-Lagrange pour une fonction f de classe $C^m$ sur [a, b] et (m+1) fois dérivable sur ]a, b[. Que devient cette formule dans le cas particulier où $m=0$ ?

$f(b)=\sum_{k=0}^m\dfrac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\dfrac{(b-a)^{m+1}}{(m+1)!}f^{(m+1)}(c)$ ; pour $m=0$, on retrouve le TAF $f(b)=f(a)$ uniquement ; pour $m=0$, on retrouve l'inégalité triangulaire $f(b)=f'(a)(b-a)$ ; pour $m=0$, le reste est nul

2. En appliquant ce théorème à la fonction $f(x)=e^x$ sur l'intervalle [0, 1], démontrer que pour tout entier m, il existe un réel $c\in$ ]0, 1[ tel que : $e=1+1+\dfrac{1}{2!}+\cdots+\dfrac{1}{m!}+\dfrac{e^c}{(m+1)!}$.

$e=1+1+\dfrac{1}{2!}+\cdots+\dfrac{1}{m!}+\dfrac{e^c}{(m+1)!}$ $e=1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1m$ $e=1+m!$

3. En déduire la limite de la série $\sum_{k=0}^m\dfrac{1}{k!}$ lorsque $m\to+\infty$.

e 0 $+\infty$

Pour aller plus loin

Références relues et sélectionnées par l'équipe pédagogique.

NIST Digital Library of Mathematical Functions — Chapter 2: Asymptotic Approximations

Avancé

F. W. J. Olver; R. Wong · 2 010

Référence institutionnelle pour les développements asymptotiques, les restes et les conditions de validité des approximations utilisées dans le cours.

Consulter la source

On the remainder in the Taylor theorem

Approfondissement

Lior Bary-Soroker; Eli Leher · 2 008

Complète les formulations classiques de Taylor en mettant l’accent sur le reste, élément central pour contrôler la qualité d’une approximation locale.