Analyse Asymptotique & Développements Limités

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Contenu du cours

Taylor avec reste intégral - énoncé

10 XP

Objectif : Maîtriser la récurrence et le calcul intégral sous-jacent au théorème de Taylor avec Reste Intégral. Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{m+1}$ sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, et soient $x_0, x \in I$. On souhaite démontrer par récurrence sur $m \in \mathbb{N}$ la relation : $$ f(x) = \sum_{k=0}^m \frac{(x-x_0)^k}{k!} f^{(k)}(x_0) + \int_{x_0}^x \frac{(x-t)^m}{m!} f^{(m+1)}(t) dt $$

1. Initialisation : Vérifier la propriété pour $m=0$.

2. Hérédité (La Mécanique de l'I.P.P) : On suppose la propriété vraie à un rang $m$. En effectuant une intégration par parties judicieuse sur le reste $R_m(x) = \int_{x_0}^x \frac{(x-t)^m}{m!} f^{(m+1)}(t) dt$, démontrer qu'elle reste vraie au rang $m+1$.

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1. Vérifier la propriété pour $m=0$.

$f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^x f'(t)\,dt$ $f(x)=f(x_0)$ $f(x)=\int_{x_0}^x f(t)\,dt$

2. On suppose la propriété vraie à un rang m. En effectuant une intégration par parties judicieuse sur le reste $R_m(x)=\int_{x_0}^x\dfrac{(x-t)^m}{m!}f^{(m+1)}(t)\,dt$, démontrer qu'elle reste vraie au rang m+1.

$R_m(x)=\dfrac{(x-x_0)^{m+1}}{(m+1)!}f^{(m+1)}(x_0)+\int_{x_0}^x\dfrac{(x-t)^{m+1}}{(m+1)!}f^{(m+2)}(t)\,dt$ $R_m(x)=0$ pour tout m $R_m(x)=f^{(m)}(x_0)$ uniquement

Pour aller plus loin

Références relues et sélectionnées par l'équipe pédagogique.

NIST Digital Library of Mathematical Functions — Chapter 2: Asymptotic Approximations

Avancé

F. W. J. Olver; R. Wong · 2 010

Référence institutionnelle pour les développements asymptotiques, les restes et les conditions de validité des approximations utilisées dans le cours.

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On the remainder in the Taylor theorem

Approfondissement

Lior Bary-Soroker; Eli Leher · 2 008

Complète les formulations classiques de Taylor en mettant l’accent sur le reste, élément central pour contrôler la qualité d’une approximation locale.